zl程序教程

您现在的位置是:首页 >  其它

当前栏目

伽马贝塔函数

函数
2023-09-27 14:26:55 时间

在数理方程、概率论等学科经常遇到以下的含参变量的积分

           , 

它们依次为第一类和第二类欧拉(Euler 1707~1783 瑞士数学家)积分,或依次称为贝塔(Bata)函数和伽马(Gamma)函数,这一节主要讨论这两个函数的若干性质。

 11.3.1  伽马函数

显然,我们应首先考虑伽马函数

                                                   (3.1)

的收敛问题。式(3.1)右端的积分不仅是一个无穷积分,而且当时,还是被积函数的一个瑕点。为此我们把它拆成两个积分。

                    和 

注意到是以为瑕点的瑕积分,且注意到

                                

时是收敛的,所以也收敛()。又因为,有                              

所以,,当时,有

                                 

这说明积分                      

对于都是收敛的,总之当,积分同时收敛,所以积分

                                   

收敛,从而伽马函数有定义。

在任何上一致收敛。事实上,

,而收敛,由判别法,关于一致收敛。

,而收敛,由判别法,关于一致收敛。

的任意性及连续概念的局部性知,伽马函数是连续的。

下面还可以进一步证明伽马函数的可微性,即时各阶导数都存在,并且可由在积分号下求导得到,即

                                      (3.2)

事实上采用证明连续性时同样的方法,可证瑕积分

与无穷积分

关于上一致收敛,这里且为任意正数。从而再由定理2.5和定理2.9推知式(3.2)成立。

时,利用分部积分公式,有

       

即伽马函数有递推关系

                    (3.3)

反复运用式(3.3),得

                      (3.4)

公式(3.3)、(3.4)可用于逐步减小自变量的值,直到它不超过1;即伽马函数对任意的自变量值的计算,都可化为对的值的计算。

在式(3.4)中,取,并注意

                    

就得到

                                

这个式子说明伽马函数是阶乘的推广。这就是说,把本来只对自然数有意义的函数推广到对一切正数都有意义了。

 

11.3.2       贝塔函数

对于贝塔函数

                    (3.5)

采用上一小节同样方法,可证明在区域连续。

如果在式(3.5)的右端积分中作替换,我们有

        

即                                                      (3.6)

这说明贝塔函数关于具有对称性。

贝塔函数还有如下递推公式

                                    (3.7)

事实上,由分部积分

           

                          

                          

                          

                          

                          

移项解出,便得到所要证明的式(3.7)。

如果在式(3.5)中作替换,则得

                                         (3.8)

反复运用公式(3.7),有

                

                      

从而          

可见                          

从上式可看到贝塔函数与伽马函数之间的联系,但上述等式仅限于取非负的整数方能成立,限制公式的应用价值,我们当然希望把它能够推广到和 的整个定义范围内,这正是下一节讨论的内容。

 11.3.3  贝塔函数与伽马函数之间的联系

定理3.1  设,则

                                                (3.9)

: 在积分

                          

中作代换,则有

所以                

                                              (3.10)

其中为正方形。作半径分别为,圆心在原点的圆域(图3.1),则由于式(3.10)中积分的被积函数为非负的,所以有

                          

但在积分 

中作极坐标替换,得

                    

                        

                                 (利用式(3.8))

                        

                                     (这里

所以    

                                   

同理,可求

                            

从而根据式(3.11),有

                  

代入式(3.10),得

                

即                             

式(3.9)得证。

例 3.2 证明  

证: 由于                 

作替换,有

      

又当时,,当时,,所以

         

    例3.3  利用等式    证明 

: 由贝塔函数与伽马函数的关系式(3.9)及例3.1,有

          

                         

                         

例 3.4  利用欧拉积分计算积分

                        

解: 令,有

,  ,  

  

并且当;当。从而

                    *

                        =

                        =

                        =

                        =

                        =